Memory Engine · FSRS-6

Le moteur, formule par formule.

Trois nombres par page, vingt et un paramètres, une courbe. Voici, sans rien arrondir, ce que Mirandola calcule chaque fois que tu notes une page.

Par l’équipe Mirandola · 4 novembre 2026 · pour les curieux

R (t, S) = {(1 + f \frac{t}{S})}^{- w_{20}}

S = 1 jour7 jours30 jours180 jours

3variables par page : D, S, R
21paramètres appris
0,3460log loss au banc d’essai public
184 Kode WebAssembly pour l’optimiseur

1Trois nombres par page

FSRS (Free Spaced Repetition Scheduler) décrit chaque souvenir par trois variables, le modèle DSR de Ye, Su et Cao. Chaque page de chaque livre porte les siennes.

Difficulté

À quel point cette page résiste. Entre 1 et 10.

D ∈ [1, 10]

Stabilité

Le nombre de jours au bout duquel ton rappel tombe à 90 %.

S ∈ [0,0001 ; 36 500] jours

Récupérabilité

La probabilité que tu retrouves la réponse, là, maintenant.

R ∈ ]0, 1]

2La courbe d’oubli

R (t, S) = {(1 + f \frac{t}{S})}^{- w_{20}}

f = {0,9}^{- 1 / w_{20}} - 1 \approx 0,9803 ⟹ R (S, S) = 0,9

t est le nombre de jours depuis la dernière lecture, comptés en jours de calendrier, la journée changeant à 4 h comme dans Anki. Le facteur f est choisi pour que le rappel vaille exactement 90 % au bout de S jours : c’est la définition même de la stabilité. Avec les paramètres par défaut, w₂₀ = 0,1542.

FSRS-6Exponentielle passant par le même point

Stabilité 10 jours Jours écoulés 15 jours · R = 86,9 %

3Le bon jour pour revenir

On inverse la courbe : quel t donne le rappel r qu’on vise ?

I (r, S) = \frac{S}{f} (r^{- 1 / w_{20}} - 1)

Mirandola vise r = 0,90, comme Anki, sans curseur : l’intervalle vaut alors exactement S, arrondi au jour, au moins un jour, au plus 36 500.

×1,00l’intervalle, en multiples de S

Rétention visée 90 %

Intervalle selon la rétention visée
Rétention visée	Intervalle
80 %	3,32 × S
85 %	1,91 × S
90 %	1,00 × S
95 %	0,40 × S
97 %	0,22 × S

4La première lecture

S_{0} (G) = w_{G - 1}

D_{0} (G) = w_{4} - e^{w_{5} (G - 1)} + 1

G est la note : 1 Encore, 2 Difficile, 3 Correct, 4 Facile.

Stabilité et difficulté de départ selon la note
Note	S₀	D₀ (borné à [1, 10])
Encore	0,21 jour	6,41
Difficile	1,29 jour	5,11
Correct	2,31 jours	2,12
Facile	8,30 jours	1 (−4,77 avant bornage)

5Après une bonne réponse

S_{r}^{'} = S (1 + \underset{échelle}{\underset{⏟}{e^{w_{8}}}} \underset{difficulté}{\underset{⏟}{(11 - D)}} \underset{saturation}{\underset{⏟}{S^{- w_{9}}}} \underset{espacement}{\underset{⏟}{(e^{w_{10} (1 - R)} - 1)}} h b)

(11 − D)

Une page facile gagne plus. À D = 10, le gain est dix fois plus petit qu’à D = 1.

S^−w₉

Plus un souvenir est solide, moins chaque lecture l’allonge : la stabilisation sature.

e^{w₁₀(1−R)} − 1

L’effet d’espacement, chiffré : relire quand on a un peu oublié rapporte plus que relire trop tôt.

h, b

h = w₁₅ = 0,60 si « Difficile », b = w₁₆ = 1,87 si « Facile », 1 sinon.

D = 2D = 5D = 8S′/S pour S = 10 jours, selon le rappel au moment de lire. Calculé par le moteur.

6Après un oubli

S_{f}^{'} = min (w_{11} D^{- w_{12}} ({(S + 1)}^{w_{13}} - 1) e^{w_{14} (1 - R)}, \frac{S}{e^{w_{17} w_{18}}})

Un oubli ne remet pas à zéro : la nouvelle stabilité garde la trace de l’ancienne, (S + 1)^w₁₃, et ne peut jamais dépasser ce qu’on avait. La page repasse ensuite par un palier de dix minutes.

7La difficulté

Le pas

Δ D = - w_{6} (G - 3)

L’amortissement

D^{'} = D + Δ D \frac{10 - D}{9}

Le retour à la moyenne

D^{″} = w_{7} D_{0} (4) + (1 - w_{7}) D^{'}

« Correct » ne bouge rien, « Difficile » ajoute 3,02, « Encore » 6,04, « Facile » retire 3,02, et plus une page est déjà difficile, moins elle peut l’être encore : le facteur (10 − D)/9 l’amortit avant 10. Le retour vers D₀(4) est presque nul par défaut (w₇ = 0,001), l’optimiseur le règle. Puis D est borné à [1, 10].

8Le jour même

S^{'} = S e^{w_{17} (G - 3 + w_{18})} S^{- w_{19}}

Pour G ≥ 2, le facteur ne descend jamais sous 1 : une bonne réponse ne fait jamais perdre de stabilité.

1 min, 10 minles paliers d’une page neuve, comme Anki
10 minle palier d’une page oubliée
4 hl’heure où la journée change : 23 h puis 3 h, c’est le même jour
20pages neuves par jour et par livre, sauf un devoir

9Une page, un an

Calculé à l’instant, dans ton navigateur, par src/fsrs.js : le code même qui choisit l’échéance de chaque page dans l’app. Paramètres par défaut, rétention 90 %, sans flou.

Chaque lecture de la page sur un an
Jour	Rappel	Note	S après	D après
J 0	·	Correct	2,31 j	2,11
J+2	90,9 %	Correct	11,0 j	2,10
J+13	90,0 %	Correct	46,3 j	2,10
J+59	90,0 %	Correct	163,0 j	2,09
J+222	90,0 %	Correct	497,9 j	2,08

5 lectures dans l’année, la première comprise. La suivante : jour 720.

10Les 21 paramètres

Ceux du crate fsrs 6.6.2, ceux d’Anki. Le Memory Engine Lite (Mirandola gratuit) les garde ; le Memory Engine Ultra (Mirandola+, Campus) les réapprend sur ton historique.

Les 21 paramètres de FSRS-6 et leur valeur par défaut
Paramètre	Par défaut	Rôle
w₀	0,212	Stabilité de départ après « Encore »
w₁	1,2931	Stabilité de départ après « Difficile »
w₂	2,3065	Stabilité de départ après « Correct »
w₃	8,2956	Stabilité de départ après « Facile »
w₄	6,4133	Difficulté de départ : son niveau
w₅	0,8334	Difficulté de départ : sa pente selon la note
w₆	3,0194	Pas de la difficulté à chaque note
w₇	0,001	Retour de la difficulté vers sa moyenne
w₈	1,8722	Gain de stabilité : son échelle
w₉	0,1666	Gain de stabilité : sa saturation avec S
w₁₀	0,796	Gain de stabilité : l’effet du rappel
w₁₁	1,4835	Après un oubli : l’échelle
w₁₂	0,0614	Après un oubli : l’effet de la difficulté
w₁₃	0,2629	Après un oubli : l’effet de l’ancienne stabilité
w₁₄	1,6483	Après un oubli : l’effet du rappel
w₁₅	0,6014	Malus de « Difficile »
w₁₆	1,8729	Bonus de « Facile »
w₁₇	0,5425	Le jour même : l’échelle
w₁₈	0,0912	Le jour même : le décalage
w₁₉	0,0658	Le jour même : la saturation
w₂₀	0,1542	La courbe d’oubli : son exposant

11L’optimiseur

ℒ (w) = - \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} [y_{i} \ln R_{i} (w) + (1 - y_{i}) \ln (1 - R_{i} (w))]

Chaque révision d’un jour différent devient un exemple : tout l’historique de la page jusque-là, et y = 1 si tu as retrouvé la réponse. Le moteur rejoue l’historique, prédit R, et la descente de gradient (Adam) ajuste les 21 paramètres pour que ses prédictions collent à ta mémoire.

Sur ton appareille crate fsrs 6.6.2 compilé en WebAssembly, lancé dans un fil à part
184 Koaucun import, aucune bibliothèque, un calcul reproductible
14 joursou 25 % de révisions en plus : il recommence seul
60 sau plus ; au-delà, il attend la prochaine fois

12Le flou et l’équilibreur

Le flou

δ (I) = 1 + 0,15 {[\min (I, 7) - 2,5]}_{+}

+ 0,1 {[\min (I, 20) - 7]}_{+}

+ 0,05 {[I - 20]}_{+}

Le jour tombe dans [I − δ, I + δ] : 30 jours deviennent un jour entre 27 et 33. Les pages apprises ensemble ne reviennent pas toutes ensemble.

L’équilibreur (Ultra)

p_{j} \propto {(\frac{1}{n_{j}})}^{2,15} {(\frac{1}{j})}^{3}

Dans la fourchette du flou, chaque jour j pèse selon les n_j pages qui l’attendent déjà (1 s’il est vide), jusqu’à 90 jours : les journées s’égalisent au lieu de s’empiler. Le tirage vient d’un hachage de la page (FNV-1a) : le délai écrit sous chaque bouton est celui qui arrivera.

13Le banc d’essai

open-spaced-repetition/srs-benchmark : 9 999 collections d’Anki, 349 923 850 révisions, chaque algorithme prédit chaque rappel avant de le voir. Plus c’est bas, mieux il connaît ta mémoire.

FSRS-60,0653
FSRS-50,0742
FSRS-4.50,0764
HLR0,1275
Ebisu v20,1627

Relevé le 4 novembre 2026, révisions du jour même exclues. SM-2 n’y figure pas : il donne un intervalle, jamais une probabilité, et ne se mesure donc pas ainsi.

Questions de curieux

Pourquoi viser 90 % et pas 100 % ?

Parce que le coût explose : à 97 %, l’intervalle tombe à 0,22 fois la stabilité, chaque page revient plus de quatre fois plus tôt qu’à 90 %. 90 % est le réglage par défaut d’Anki et de FSRS, le meilleur rapport entre ce qu’on retient et le temps passé.

Mon historique sert-il à entraîner un modèle commun ?

Non. L’optimiseur tourne sur ton appareil et n’apprend que ta mémoire. Sans assez d’historique, ou en Mirandola gratuit, ce sont les paramètres par défaut, ceux d’Anki.

Mirandola fait-il exactement comme Anki ?

Le même moteur, FSRS-6 du crate fsrs 6.6.2 qu’Anki épingle, les mêmes paramètres par défaut, les mêmes paliers, la même journée qui change à 4 h, le même flou et le même équilibreur. Ce qui change : aucun réglage à faire.

Sources

Junyao Ye, Jingyong Su, Yilong Cao, « A Stochastic Shortest Path Algorithm for Optimizing Spaced Repetition Scheduling », KDD 2022.
Jingyong Su, Junyao Ye, Liqiang Nie, Yilong Cao, Yongyong Chen, « Optimizing Spaced Repetition Schedule by Capturing the Dynamics of Memory », IEEE TKDE, 2023.
open-spaced-repetition : le crate fsrs 6.6.2, py-fsrs, et le banc d’essai srs-benchmark.
Anki : l’équilibreur de charge, rslib/src/scheduler/states/load_balancer.rs.

Plus simple ? La répétition espacée, expliquée sans formule.